已知圆 $(x + 1)^2 + y^2 = 1$ 和圆外一点 $P(0,2)$，过点 $P$ 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是______.

\begin{answer} $\frac{4}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 圆心为 $C_0(-1,0)$，半径为 $1$. 过 $P(0,2)$ 的非竖直直线可设为 $y-2=m x$. 它与圆相切当且仅当圆心到直线的距离等于半径，即 平方并化简得 $(2-m)^2=m^2+1$，所以 $m=\frac34$. 另一条切线为竖直直线 $x=0$，它与圆在 $(0,0)$ 相切. 设两切线的夹角为 $\varphi$，则斜率为 $\frac34$ 的直线与竖直线的夹角满足 $\tan\varphi=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac43$，故正切值为 $\frac43$. \end{solution}

已知点 $A(-\sqrt{3},0)$ 和 $B(\sqrt{3},0)$，动点 $C$ 到 $A$，$B$ 两点的距离之差的绝对值为 $2$，点 $C$ 的轨迹与直线 $y = x - 2$ 交于 $D$，$E$ 两点，求线段 $DE$ 的长.