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14立体几何初步★★★☆☆
已知直线 ll，mm，平面 α\alpha，β\beta，且 l⊥αl \perp \alpha，m⊂βm \subset \beta，给出下列四个命题.
① 若 α∥β\alpha \parallel \beta，l⊥ml \perp m； ② 若 l⊥ml \perp m，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥ml \parallel m； ④ 若 l∥ml \parallel m，α⊥β\alpha \perp \beta.
其中正确命题的个数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 第一项中，若 α∥β\alpha\parallel\beta，且 l⊥αl\perp\alpha，则 l⊥βl\perp\beta，从而 l⊥ml\perp m，所以该命题正确.
第二项不能由 l⊥ml\perp m 推出 α∥β\alpha\parallel\beta. 例如取 α⊥β\alpha\perp\beta，则垂直于 α\alpha 的直线 ll 的方向在平面 β\beta 内；再在 β\beta 内取一条与 ll 垂直的直线 mm，此时 l⊥ml\perp m，但 α\alpha 与 β\beta 不平行，所以该命题错误.
第三项即使 α⊥β\alpha\perp\beta，平面 β\beta 内也有许多方向不同的直线，不一定都有与 ll 相同的方向，因此不能推出 l∥ml\parallel m，该命题错误.
第四项若 l∥ml\parallel m，由 l⊥αl\perp\alpha 可得 m⊥αm\perp\alpha. 又因为 m⊂βm\subset\beta，平面 β\beta 经过一条垂直于平面 α\alpha 的直线，所以 β⊥α\beta\perp\alpha，即 α⊥β\alpha\perp\beta，该命题正确.
因此正确命题有 22 个，故选 B. \end{solution}
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2002 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABO−A′B′O′ABO - A'B'O' 中，OO′=4OO' = 4，OA=4OA = 4，OB=3OB = 3，∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ，DD 是线段 A′B′A'B' 的中点，PP 是侧棱 BB′BB' 上的一点，若 OP⊥BDOP \perp BD，求 OPOP 与底面 AOBAOB 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

2002 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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