已知直线 $l: x + ay - 1 = 0$ （$a \in \mathbf{R}$）是圆 $C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0$ 的对称轴. 过点 $A(-4, a)$ 作圆 $C$ 的一条切线. 切点为 $B$，则 $|AB| =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 将圆方程配方得 所以圆心为 $O(2,1)$，半径为 $2$. 圆的对称轴必须经过圆心，将 $O$ 代入直线方程得 $2+a-1=0$，故 $a=-1$. 于是 $A(-4,-1)$，从而 在切点 $B$ 处，$OB\perp AB$，所以 故答案为 C. \end{solution}

已知直线 $l$ 的参数方程为 （$t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho^2 \cos 2\theta = 4$ （$\rho > 0$，$\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}$），则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的极坐标为______.

\begin{answer} $(2,\pi)$ \end{answer}

\begin{solution} 由直线的参数方程，消去参数得 $y-x=2$，即 又因为 $\rho^2\cos2\theta=4$，所以 代入直线关系，得 $\rho(\sin\theta+\cos\theta)=-2$. 两式相加得 $2\rho\sin\theta=0$，由于 $\rho>0$ 且 $\frac{3\pi}{4}<\theta<\frac{5\pi}{4}$，故 $\theta=\pi$，再由直线关系得 $\rho=2$. 所以交点的极坐标为 $(2,\pi)$. \end{solution}