如图，某住宅小区的平面图呈扇形 $AOC$. 小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处，小区里有两条笔直的小路 $AD$，$DC$，且拐弯处的转角为 $120^{\circ}$. 已知某人从 $C$ 沿 $CD$ 走到 $D$ 用了 $10\text{ 分钟}$，从 $D$ 沿 $DA$ 走到 $A$ 用了 $6\text{ 分钟}$. 若此人步行的速度为每分钟 $50\text{ 米}$，求该扇形的半径 $OA$ 的长.（精确到 $1\text{ 米}$）