设集合 $M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，$S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_k$ 都是 $M$ 的含两个元素的子集，且满足：

对任意的 $S_i = \{a_i, b_i\}$，$S_j = \{a_j, b_j\}$（$i \neq j$，$i$，$j \in \{1, 2, 3, \cdots, k\}$），都有 $\min \left\{\frac{a_i}{b_i}, \frac{b_i}{a_i}\right\} \neq \min \left\{\frac{a_j}{b_j}, \frac{b_j}{a_j}\right\}$.

（$\min \{x, y\}$ 表示两个数 $x$，$y$ 中的较小者）. 则 $k$ 的最大值是（ ）