函数 $f(x)=6\cos^2\left(\frac{\omega x}{2}\right)+\sqrt{3}\sin\omega x-3$（$\omega>0$）在一个周期内的图象如图所示，$A$ 为图象的最高点，$B$，$C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $\triangle ABC$ 为正三角形.

(1) 求 $\omega$ 的值及函数 $f(x)$ 的值域； (2) 若 $f(x_0) = \frac{8\sqrt{3}}{5}$，且 $x_0 \in \left(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3}\right)$，求 $f(x_0 + 1)$ 的值.