在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，$\angle ABC=120^\circ$，$\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$，且 $BD=1$，则 $4a+c$ 的最小值为______.

若 $x$，$y$，$z$ 为实数，且 $x+2y+2z=6$，求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值.