已知 $a\in\mathbf{R}$，双曲线 $\Gamma:\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$.

(1) 若点 $(2,1)$ 在上，求 $\Gamma$ 的焦点坐标； (2) 若 $a=1$，直线 $y=kx+1$ 与 $\Gamma$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且线段 $AB$ 中点的横坐标为 $1$，求实数 $k$ 的值.