已知点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4x$ 上，那么点 $P$ 到点 $Q(2, -1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设抛物线上点 $P$ 的参数坐标为 $P\left(t^2,2t\right)$. 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F\left(1,0\right)$，准线为 $x=-1$. 令准线上与 $P$ 同纵坐标的点为 $D\left(-1,2t\right)$，则抛物线的定义给出 $PF=PD=t^2+1$. 因而 当且仅当 $t=-\frac12$ 时，$Q$、$P$、$D$ 共线且 $QD=3$，此时 所以距离和的最小值在 $P\left(\frac14,-1\right)$ 处取得，故选 A. \end{solution}

设双曲线 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$. 过点 $F$ 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 $B$，则 $\triangle AFB$ 的面积为______. \begin{answer} $\frac{32}{15}$ \end{answer}

\begin{solution} 双曲线的实半轴、虚半轴分别为 $a=3$、$b=4$，所以焦半距 $c=\sqrt{a^2+b^2}=5$，从而 $A=\left(3,0\right)$、$F=\left(5,0\right)$. 双曲线的一条渐近线为 $y=\frac43x$，过 $F$ 的平行直线可写为 将其代入双曲线方程，得 故 $x=\frac{17}{5}$，相应地 $y=-\frac{32}{15}$. 另一条渐近线所得交点关于 $x$ 轴对称，三角形面积相同. 因此 \end{solution}

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 $\frac{9}{8}$，底面周长为 $3$，则这个球的体积为______. \begin{answer} $\frac{4\pi}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 设正六边形边长为 $s$，六棱柱高为 $h$. 由底面周长为 $3$，得 $s=\frac12$. 正六边形面积为 由体积条件 $Sh=\frac98$，得 $h=\sqrt3$. 正六边形的外接圆半径等于边长，所以球心位于两底面中心连线的中点，球半径满足 故球的体积为 \end{solution}

如图，已知点 $P$ 在正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 的对角线 $BD'$ 上，$\angle PDA = 60^\circ$.

(1) 求 $DP$ 与 $CC'$ 所成角的大小； (2) 求 $DP$ 与平面 $A^{\prime}AD^{\prime}D$ 所成角的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设正方体棱长为 $a$，建立直角坐标系 $A\left(0,0,0\right)$，$\ B\left(a,0,0\right)$，$\ D\left(0,a,0\right)$，$\ D'\left(0,a,a\right)$. 令 $P$ 将 $BD'$ 按参数 $t$ 表示为 $P=\left(a\left(1-t\right),at,at\right)$，$0\le t\le1$. 于是 $\overrightarrow{DP}=a\left(1-t,-(1-t),t\right)$，$\overrightarrow{DA}=a\left(0,-1,0\right)$. 由 $\angle PDA=60^{\circ}$，得 所以 $t^2=2\left(1-t\right)^2$，从而 $t=\sqrt2\left(1-t\right)$. 又 因此 故 $DP$ 与 $CC'$ 所成角为 $45^{\circ}$. \item 平面 $A'AD'D$ 的方程为 $x=0$，其法向量沿 $x$ 轴. 设 $DP$ 与该平面所成角为 $\alpha$，则 因为 $0\le\alpha\le90^{\circ}$，所以 $\alpha=30^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}

$A$，$B$ 两个投资项目的利润率分别为随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$. 根据市场分析，$X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的分布列分别为

(1) 在 $A$，$B$ 两个项目上各投资 $100\text{ 万元}$，$Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 分别表示投资项目 $A$ 和 $B$ 所获得的利润，求方差 $D(Y_1)$，$D(Y_2)$； (2) 将 $x\text{ 万元}$（$0 \leqslant x \leqslant 100$）投资 $A$ 项目，$(100-x)\text{ 万元}$投资 $B$ 项目，$f(x)$ 表示投资 $A$ 项目所得利润的方差与投资 $B$ 项目所得利润的方差的和. 求 $f(x)$ 的最小值，并指出 $x$ 为何值时，$f(x)$ 取到最小值.（注：$D(aX+b)=a^{2}D(X)$）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将百分数按小数表示，则 由于 $Y_1=100X_1$，所以 对第二个项目， 由于 $Y_2=100X_2$，所以 $D(Y_2)=100^2D(X_2)=12$. \item 投资 $A$ 项目 $x$ 万元、投资 $B$ 项目 $100-x$ 万元时，两项投资所得利润的方差分别为 $x^2D(X_1)$ 与 $(100-x)^2D(X_2)$. 因而 整理得 在 $0\le x\le100$ 时，$(x-75)^2\ge0$，所以 $f(x)$ 的最小值为 $3$，且当 $x=75$ 时取得. \end{enumerate} \end{solution}

已知曲线 $C_{1}$： （$\theta$ 为参数），曲线 $C_{2}$： （$t$ 为参数）.

(1) 指出 $C_{1}$，$C_{2}$ 各是什么曲线，并说明 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共点的个数； (2) 若把 $C_{1}$，$C_{2}$ 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 $C_{1}^{\prime}$，$C_{2}^{\prime}$. 写出 $C_{1}^{\prime}$，$C_{2}^{\prime}$ 的参数方程. $C_{1}^{\prime}$ 与 $C_{2}^{\prime}$ 公共点的个数和 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共点的个数是否相同？说明你的理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$，消去参数得 $x^2+y^2=1$，所以 $C_1$ 是单位圆. 对 $C_2$，由 $y=\frac{\sqrt2}{2}t$ 得 $t=\sqrt2y$，代入 $x$ 式得 $x-y+\sqrt2=0$，所以 $C_2$ 是直线. 将 $x=y-\sqrt2$ 代入圆方程，得 其判别式为 $8-8=0$，所以直线与圆相切，$C_1$ 与 $C_2$ 有一个公共点. \item 纵坐标压缩为原来的一半后，直接得到 消去参数后，$C_1'$ 满足 $x^2+4y^2=1$，$C_2'$ 满足 $x-2y+\sqrt2=0$. 联立得 其判别式仍为 $32-32=0$，故压缩后仍有一个公共点. 这也符合将平面作同一纵向压缩变换的性质：该变换是一一对应的，原两曲线的公共点恰好一一对应到压缩后两曲线的公共点，所以公共点个数相同. \end{enumerate} \end{solution}