已知点 $P$ 在抛物线 $y^{2} = 4x$ 上，那么点 $P$ 到点 $Q(2, -1)$ 的距离与点 $P$ 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 $P$ 的坐标为（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设抛物线上点 $P$ 的参数坐标为 $P\left(t^2,2t\right)$. 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F\left(1,0\right)$，准线为 $x=-1$. 令准线上与 $P$ 同纵坐标的点为 $D\left(-1,2t\right)$，则抛物线的定义给出 $PF=PD=t^2+1$. 因而 当且仅当 $t=-\frac12$ 时，$Q$、$P$、$D$ 共线且 $QD=3$，此时 所以距离和的最小值在 $P\left(\frac14,-1\right)$ 处取得，故选 A. \end{solution}

设双曲线 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$. 过点 $F$ 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 $B$，则 $\triangle AFB$ 的面积为______. \begin{answer} $\frac{32}{15}$ \end{answer}

\begin{solution} 双曲线的实半轴、虚半轴分别为 $a=3$、$b=4$，所以焦半距 $c=\sqrt{a^2+b^2}=5$，从而 $A=\left(3,0\right)$、$F=\left(5,0\right)$. 双曲线的一条渐近线为 $y=\frac43x$，过 $F$ 的平行直线可写为 将其代入双曲线方程，得 故 $x=\frac{17}{5}$，相应地 $y=-\frac{32}{15}$. 另一条渐近线所得交点关于 $x$ 轴对称，三角形面积相同. 因此 \end{solution}

已知曲线 $C_{1}$： （$\theta$ 为参数），曲线 $C_{2}$： （$t$ 为参数）.

(1) 指出 $C_{1}$，$C_{2}$ 各是什么曲线，并说明 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共点的个数； (2) 若把 $C_{1}$，$C_{2}$ 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 $C_{1}^{\prime}$，$C_{2}^{\prime}$. 写出 $C_{1}^{\prime}$，$C_{2}^{\prime}$ 的参数方程. $C_{1}^{\prime}$ 与 $C_{2}^{\prime}$ 公共点的个数和 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共点的个数是否相同？说明你的理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$，消去参数得 $x^2+y^2=1$，所以 $C_1$ 是单位圆. 对 $C_2$，由 $y=\frac{\sqrt2}{2}t$ 得 $t=\sqrt2y$，代入 $x$ 式得 $x-y+\sqrt2=0$，所以 $C_2$ 是直线. 将 $x=y-\sqrt2$ 代入圆方程，得 其判别式为 $8-8=0$，所以直线与圆相切，$C_1$ 与 $C_2$ 有一个公共点. \item 纵坐标压缩为原来的一半后，直接得到 消去参数后，$C_1'$ 满足 $x^2+4y^2=1$，$C_2'$ 满足 $x-2y+\sqrt2=0$. 联立得 其判别式仍为 $32-32=0$，故压缩后仍有一个公共点. 这也符合将平面作同一纵向压缩变换的性质：该变换是一一对应的，原两曲线的公共点恰好一一对应到压缩后两曲线的公共点，所以公共点个数相同. \end{enumerate} \end{solution}