一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面. 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 $\frac{9}{8}$，底面周长为 $3$，则这个球的体积为______. \begin{answer} $\frac{4\pi}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 设正六边形边长为 $s$，六棱柱高为 $h$. 由底面周长为 $3$，得 $s=\frac12$. 正六边形面积为 由体积条件 $Sh=\frac98$，得 $h=\sqrt3$. 正六边形的外接圆半径等于边长，所以球心位于两底面中心连线的中点，球半径满足 故球的体积为 \end{solution}

如图，已知点 $P$ 在正方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 的对角线 $BD'$ 上，$\angle PDA = 60^\circ$.

(1) 求 $DP$ 与 $CC'$ 所成角的大小； (2) 求 $DP$ 与平面 $A^{\prime}AD^{\prime}D$ 所成角的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设正方体棱长为 $a$，建立直角坐标系 $A\left(0,0,0\right)$，$\ B\left(a,0,0\right)$，$\ D\left(0,a,0\right)$，$\ D'\left(0,a,a\right)$. 令 $P$ 将 $BD'$ 按参数 $t$ 表示为 $P=\left(a\left(1-t\right),at,at\right)$，$0\le t\le1$. 于是 $\overrightarrow{DP}=a\left(1-t,-(1-t),t\right)$，$\overrightarrow{DA}=a\left(0,-1,0\right)$. 由 $\angle PDA=60^{\circ}$，得 所以 $t^2=2\left(1-t\right)^2$，从而 $t=\sqrt2\left(1-t\right)$. 又 因此 故 $DP$ 与 $CC'$ 所成角为 $45^{\circ}$. \item 平面 $A'AD'D$ 的方程为 $x=0$，其法向量沿 $x$ 轴. 设 $DP$ 与该平面所成角为 $\alpha$，则 因为 $0\le\alpha\le90^{\circ}$，所以 $\alpha=30^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}