在半径为 $13$ 的球面上有 $A$，$B$，$C$ 三点，$AB = 6$，$BC = 8$，$CA = 10$，则

(1) 球心到平面 $ABC$ 的距离为______； (2) 过 $A$，$B$ 两点的大圆面与平面 $ABC$ 所成二面角为 （锐角） 的正切值为______.

如图，在正三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$AB = \sqrt{2}AA_{1}$，点 $D$ 是 $A_{1}B_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $A_{1}C_{1}$ 上，且 $DE \perp AE$.

(1) 证明：平面 $ADE$ $\perp$ 平面 $ACC_{1}A_{1}$； (2) 求直线 $AD$ 和平面 $ABC_{1}$ 所成角的正弦值.