设函数 $f(x) = \sin\omega x + \cos\omega x$ ($\omega > 0$), 若 $f(x + \pi) = f(x)$ 恒成立, 且 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上存在零点, 则 $\omega$ 的最小值为 （ ）

在 $\triangle ABC$ 中, $\cos A = -\frac{1}{3}$, $a\sin C = 4\sqrt{2}$。

(1) 求 $c$ 的值;

(2) 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知, 使得 $\triangle ABC$ 存在, 求 $BC$ 边上的高。

条件①: $a = 6$; 条件②: $a\sin B = \frac{10\sqrt{2}}{3}$; 条件③: $\triangle ABC$ 的面积为 $10\sqrt{2}$。