在平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的方程为 $x^2 + y^2 - 8x + 15 = 0$，若直线 $y = kx - 2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，$1$ 为半径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $k$ 的最大值是______.

在极坐标系中，已知圆 $C$ 经过点 $P\left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right)$，圆心为直线 $\rho\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 与极轴的交点，求圆 $C$ 的极坐标方程.