一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 $4$ 件作检验，这 $4$ 件产品中优质品的件数记为 $n$. 如果 $n = 3$，再从这批产品中任取 $4$ 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n = 4$，再从这批产品中任取 $1$ 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 $50\%$. 即取出的产品是优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$，且各件产品是否为优质品相互独立.

(1) 求这批产品通过检验的概率； (2) 已知每件产品检验费用为 $100\text{ 元}$，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$（单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望.