已知复数 $z_0=1-m\mathrm{i}$（$m>0$），$z=x+y\mathrm{i}$ 和 $\omega=x'+y'\mathrm{i}$，其中 $x$，$y$，$x'$，$y'$ 均为实数，$\mathrm{i}$ 为虚数单位，且对于任意复数 $z$，有 $\omega=\overline{z_0}\cdot\overline{z}$，$\ |\omega|=2|z|$.

(1) 试求 $m$ 的值，并分别写出 $x'$ 和 $y'$ 用 $x$，$y$ 表示的关系式； (2) 将 $(x,y)$ 作为点 $P$ 的坐标，$(x',y')$ 作为点 $Q$ 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点 $P$ 变到这一平面上的点 $Q$，已知点 $P$ 经该变换后得到的点 $Q$ 的坐标为 $(\sqrt{3},2)$，试求点 $P$ 的坐标； (3) 若直线 $y=kx$ 上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求 $k$ 的值.