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10导数及其应用★★★☆☆
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 设三次函数为 f(x)=Ax3+Bx2+Cx+Df(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D. 由图可知曲线在 O(0,0)O(0,0) 处与直线 y=−xy=-x 相切，在 (2,0)(2,0) 处与直线 y=3x−6y=3x-6 相切，所以 f(0)=0f(0)=0，f′(0)=−1f'(0)=-1，f(2)=0f(2)=0，f′(2)=3f'(2)=3. 于是 D=0D=0，C=−1C=-1，并且 8A+4B−2=08A+4B-2=0，12A+4B−1=312A+4B-1=3，即 4A+2B=14A+2B=1，3A+B=13A+B=1. 解得 A=12A=\frac12，B=−12B=-\frac12. 因此 f(x)=12x3−12x2−xf(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-x. 所以选 A. \end{solution}
A.
y=12x3−12x2−xy = \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - x
B.
y=12x3+12x2−3xy = \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 3x
C.
y=14x3−xy = \frac{1}{4} x^3 - x
D.
y=14x3+12x2−2xy = \frac{1}{4} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2x

2014 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
已知 f(x)=x1+xf(x) = \frac{x}{1 + x}，x⩾0x \geqslant 0，若 f1(x)=f(x)f_1(x) = f(x)，fn+1(x)=f(fn(x))f_{n+1}(x) = f(f_n(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_+，则 f2014(x)f_{2014}(x) 的表达式为______. \begin{answer} x2014x+1\frac{x}{2014x+1} \end{answer} \begin{solution} 先证明 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}. 由于 x⩾0x\geqslant0 且 n∈N+n\in\mathbf N_+，有 1+nx>01+nx>0，所以各步分式均有意义. 当 n=1n=1 时，f1(x)=f(x)=x1+xf_1(x)=f(x)=\frac{x}{1+x}，结论成立. 若 fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx}，则
fn+1(x)=f(x1+nx)=x1+nx1+x1+nx=x1+(n+1)xf_{n+1}(x)=f\left(\frac{x}{1+nx}\right) =\frac{\frac{x}{1+nx}}{1+\frac{x}{1+nx}} =\frac{x}{1+(n+1)x}
由数学归纳法，fn(x)=x1+nxf_n(x)=\frac{x}{1+nx} 对一切 n∈N+n\in\mathbf N_+ 成立. 因此
f2014(x)=x1+2014x=x2014x+1f_{2014}(x)=\frac{x}{1+2014x}=\frac{x}{2014x+1}
\end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 中，BC=6BC = 6，以 BCBC 为直径的半圆分别交 ABAB，ACAC 于点 EE，FF，若 AC=2AEAC = 2AE，则 EF=‾EF =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 33 \end{answer} \begin{solution} 因为 EE，FF 在以 BCBC 为直径的圆上，所以 ∠BEC=∠BFC=90∘\angle BEC=\angle BFC=90^\circ. 设 AE=tAE=t，则 AC=2tAC=2t. 在直角三角形 AECAEC 中，cos⁡A=AEAC=12\cos A=\frac{AE}{AC}=\frac12，所以 A=60∘A=60^\circ. 由点 AA 关于该圆的幂，
AE⋅AB=AF⋅ACAE\cdot AB=AF\cdot AC
代入 AC=2AEAC=2AE 得 AB=2AFAB=2AF，所以 AF=12ABAF=\frac12AB. 取 AA 为原点，令 ABAB 在 xx 轴正向，设 AB=sAB=s. 则 B=(s,0)B=(s,0)，C=(t,3t)C=(t,\sqrt3t)，E=(t,0)E=(t,0)，F=(s4,3s4)F=\left(\frac{s}{4},\frac{\sqrt3s}{4}\right). 于是
EF2=(s4−t)2+(3s4)2=14(s2+4t2−2st)=14BC2=9EF^2=\left(\frac{s}{4}-t\right)^2+\left(\frac{\sqrt3s}{4}\right)^2 =\frac14(s^2+4t^2-2st)=\frac14BC^2=9
因为 EF>0EF>0，所以 EF=3EF=3. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 15 题（B） · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 aa，bb，cc 成等差数列，证明：sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A + \sin C = 2\sin (A + C)； (2) 若 aa，bb，cc 成等比数列，且 c=2ac = 2a，求 cos⁡B\cos B 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，存在 k>0k>0 使 a=ksin⁡Aa=k\sin A，b=ksin⁡Bb=k\sin B，c=ksin⁡Cc=k\sin C. 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b，从而 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡B\sin A+\sin C=2\sin B. 又 A+B+C=πA+B+C=\pi，故 sin⁡B=sin⁡(A+C)\sin B=\sin(A+C)，所以 sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A+\sin C=2\sin(A+C).
\item 因为 aa，bb，cc 为三角形的边，均为正数. 设等比数列公比为 q>0q>0，则 b=aqb=aq，c=aq2c=aq^2. 由 c=2ac=2a 得 q2=2q^2=2，所以 b=2ab=\sqrt2a，c=2ac=2a. 在三角形 ABCABC 中对角 BB 使用余弦定理，b2=a2+c2−2accos⁡Bb^2=a^2+c^2-2ac\cos B. 代入边长关系得 2a2=a2+4a2−4a2cos⁡B2a^2=a^2+4a^2-4a^2\cos B，所以 cos⁡B=34\cos B=\frac34. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
四面体 ABCDABCD 及其三视图如图所示，过棱 ABAB 的中点 EE 作平行于 ADAD，BCBC 的平面分别交四面体的棱 BDBD，DCDC，CACA 于点 FF，GG，HH.
(1) 求四面体 ABCDABCD 的体积； (2) 证明：四边形 EFGHEFGH 是矩形.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由三视图可知，AD⊥BDAD\perp BD，AD⊥DCAD\perp DC，BD⊥DCBD\perp DC，且 AD=1AD=1，BD=DC=2BD=DC=2. 因为 BDBD、DCDC 是平面 BDCBDC 内相交的两条直线，所以直线 ADAD 垂直于平面 BDCBDC. 因而以三角形 BDCBDC 为底，ADAD 为高，四面体体积为
V=13⋅12BD⋅DC⋅AD=13⋅12⋅2⋅2⋅1=23V=\frac13\cdot\frac12BD\cdot DC\cdot AD =\frac13\cdot\frac12\cdot2\cdot2\cdot1=\frac23
\item 平面 EFGHEFGH 平行于 ADAD 和 BCBC. 在三角形 ABDABD 中，过 EE 的截线 EF∥ADEF\parallel AD，且 EE 为 ABAB 的中点，所以 FF 为 BDBD 的中点. 在三角形 ABCABC 中，截线 EH∥BCEH\parallel BC，所以 HH 为 ACAC 的中点.
平面 BDCBDC 与平面 EFGHEFGH 的交线为 FGFG，且 FG∥BCFG\parallel BC. 由三角形 BDCBDC 的中位线定理，GG 为 DCDC 的中点. 又在三角形 ADCADC 中，HH，GG 分别为 ACAC，DCDC 的中点，所以 HG∥ADHG\parallel AD. 因此 EF∥HGEF\parallel HG，EH∥FGEH\parallel FG，四边形 EFGHEFGH 为平行四边形.
由 AD⊥BCAD\perp BC，且 EF∥ADEF\parallel AD，FG∥BCFG\parallel BC，得 EF⊥FGEF\perp FG. 该平行四边形有一个直角，所以四边形 EFGHEFGH 是矩形. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(1,1)A(1,1)，B(2,3)B(2,3)，C(3,2)C(3,2). 点 P(x,y)P(x,y) 在 △ABC\triangle ABC 三边围成的区域（含边界）上，且 OP→=mAB→+nAC→\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC} （mm，n∈Rn \in \mathbf{R}）.
(1) 若 m=n=23m = n = \frac{2}{3}，求 ∣OP→∣\left|\overrightarrow{OP}\right|. (2) 用 xx，yy 表示 m−nm - n，并求 m−nm - n 的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item AB→=(1,2)\overrightarrow{AB}=(1,2)，AC→=(2,1)\overrightarrow{AC}=(2,1). 当 m=n=23m=n=\frac23 时，
OP→=23(1,2)+23(2,1)=(2,2)\overrightarrow{OP}=\frac23(1,2)+\frac23(2,1)=(2,2)
所以 ∣OP→∣=22+22=22\left|\overrightarrow{OP}\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2.
\item 由
(x,y)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n)(x,y)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n)
两式相减得 m−n=y−xm-n=y-x. 设 PP 在三角形 ABCABC 内的重心坐标为 P=αA+βB+γCP=\alpha A+\beta B+\gamma C，其中 α+β+γ=1\alpha+\beta+\gamma=1，且 α\alpha，β\beta，γ⩾0\gamma\geqslant0. 在三个顶点处，y−xy-x 的值分别为 00，11，−1-1，所以
m−n=y−x=0α+1β−1γ⩽1m-n=y-x=0\alpha+1\beta-1\gamma\leqslant1
当 P=BP=B 时取等号，故 m−nm-n 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1) 若每辆车的投保金额均为 2800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2) 在样本车辆中，车主是新司机的占 10%10\%，在赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%20\%. 估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 样本总车辆数为 500+130+100+150+120=1000500+130+100+150+120=1000. 赔付金额大于 28002800 元的车辆数为 150+120=270150+120=270，所以估计概率为
2701000=0.27\frac{270}{1000}=0.27
\item 样本中新司机车辆数为 0.1×1000=1000.1\times1000=100 辆；在赔付 40004000 元的 120120 辆车中，新司机车辆数为 0.2×120=240.2\times120=24 辆. 因此在新司机中获赔 40004000 元的概率估计为
24100=0.24\frac{24}{100}=0.24
\end{enumerate} \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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