如图，$\triangle ABC$ 中，$BC = 6$，以 $BC$ 为直径的半圆分别交 $AB$，$AC$ 于点 $E$，$F$，若 $AC = 2AE$，则 $EF =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $3$ \end{answer} \begin{solution} 因为 $E$，$F$ 在以 $BC$ 为直径的圆上，所以 $\angle BEC=\angle BFC=90^\circ$. 设 $AE=t$，则 $AC=2t$. 在直角三角形 $AEC$ 中，$\cos A=\frac{AE}{AC}=\frac12$，所以 $A=60^\circ$. 由点 $A$ 关于该圆的幂， 代入 $AC=2AE$ 得 $AB=2AF$，所以 $AF=\frac12AB$. 取 $A$ 为原点，令 $AB$ 在 $x$ 轴正向，设 $AB=s$. 则 $B=(s,0)$，$C=(t,\sqrt3t)$，$E=(t,0)$，$F=\left(\frac{s}{4},\frac{\sqrt3s}{4}\right)$. 于是 因为 $EF>0$，所以 $EF=3$. \end{solution}