四面体 $ABCD$ 及其三视图如图所示，过棱 $AB$ 的中点 $E$ 作平行于 $AD$，$BC$ 的平面分别交四面体的棱 $BD$，$DC$，$CA$ 于点 $F$，$G$，$H$.

(1) 求四面体 $ABCD$ 的体积； (2) 证明：四边形 $EFGH$ 是矩形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由三视图可知，$AD\perp BD$，$AD\perp DC$，$BD\perp DC$，且 $AD=1$，$BD=DC=2$. 因为 $BD$、$DC$ 是平面 $BDC$ 内相交的两条直线，所以直线 $AD$ 垂直于平面 $BDC$. 因而以三角形 $BDC$ 为底，$AD$ 为高，四面体体积为

\item 平面 $EFGH$ 平行于 $AD$ 和 $BC$. 在三角形 $ABD$ 中，过 $E$ 的截线 $EF\parallel AD$，且 $E$ 为 $AB$ 的中点，所以 $F$ 为 $BD$ 的中点. 在三角形 $ABC$ 中，截线 $EH\parallel BC$，所以 $H$ 为 $AC$ 的中点.

平面 $BDC$ 与平面 $EFGH$ 的交线为 $FG$，且 $FG\parallel BC$. 由三角形 $BDC$ 的中位线定理，$G$ 为 $DC$ 的中点. 又在三角形 $ADC$ 中，$H$，$G$ 分别为 $AC$，$DC$ 的中点，所以 $HG\parallel AD$. 因此 $EF\parallel HG$，$EH\parallel FG$，四边形 $EFGH$ 为平行四边形.

由 $AD\perp BC$，且 $EF\parallel AD$，$FG\parallel BC$，得 $EF\perp FG$. 该平行四边形有一个直角，所以四边形 $EFGH$ 是矩形. \end{enumerate} \end{solution}