如图，$\triangle ABC$ 中，$BC = 6$，以 $BC$ 为直径的半圆分别交 $AB$，$AC$ 于点 $E$，$F$，若 $AC = 2AE$，则 $EF =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $3$ \end{answer} \begin{solution} 因为 $E$，$F$ 在以 $BC$ 为直径的圆上，所以 $\angle BEC=\angle BFC=90^\circ$. 设 $AE=t$，则 $AC=2t$. 在直角三角形 $AEC$ 中，$\cos A=\frac{AE}{AC}=\frac12$，所以 $A=60^\circ$. 由点 $A$ 关于该圆的幂， 代入 $AC=2AE$ 得 $AB=2AF$，所以 $AF=\frac12AB$. 取 $A$ 为原点，令 $AB$ 在 $x$ 轴正向，设 $AB=s$. 则 $B=(s,0)$，$C=(t,\sqrt3t)$，$E=(t,0)$，$F=\left(\frac{s}{4},\frac{\sqrt3s}{4}\right)$. 于是 因为 $EF>0$，所以 $EF=3$. \end{solution}

$\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$.

(1) 若 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，证明：$\sin A + \sin C = 2\sin (A + C)$； (2) 若 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，且 $c = 2a$，求 $\cos B$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由正弦定理，存在 $k>0$ 使 $a=k\sin A$，$b=k\sin B$，$c=k\sin C$. 因为 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，所以 $a+c=2b$，从而 $\sin A+\sin C=2\sin B$. 又 $A+B+C=\pi$，故 $\sin B=\sin(A+C)$，所以 $\sin A+\sin C=2\sin(A+C)$.

\item 因为 $a$，$b$，$c$ 为三角形的边，均为正数. 设等比数列公比为 $q>0$，则 $b=aq$，$c=aq^2$. 由 $c=2a$ 得 $q^2=2$，所以 $b=\sqrt2a$，$c=2a$. 在三角形 $ABC$ 中对角 $B$ 使用余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. 代入边长关系得 $2a^2=a^2+4a^2-4a^2\cos B$，所以 $\cos B=\frac34$. \end{enumerate} \end{solution}