在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(1,1)$，$B(2,3)$，$C(3,2)$. 点 $P(x,y)$ 在 $\triangle ABC$ 三边围成的区域（含边界）上，且 $\overrightarrow{OP} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC}$ （$m$，$n \in \mathbf{R}$）.

(1) 若 $m = n = \frac{2}{3}$，求 $\left|\overrightarrow{OP}\right|$. (2) 用 $x$，$y$ 表示 $m - n$，并求 $m - n$ 的最大值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{AB}=(1,2)$，$\overrightarrow{AC}=(2,1)$. 当 $m=n=\frac23$ 时， 所以 $\left|\overrightarrow{OP}\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$.

\item 由 两式相减得 $m-n=y-x$. 设 $P$ 在三角形 $ABC$ 内的重心坐标为 $P=\alpha A+\beta B+\gamma C$，其中 $\alpha+\beta+\gamma=1$，且 $\alpha$，$\beta$，$\gamma\geqslant0$. 在三个顶点处，$y-x$ 的值分别为 $0$，$1$，$-1$，所以 当 $P=B$ 时取等号，故 $m-n$ 的最大值为 $1$. \end{enumerate} \end{solution}