已知复数 $z = \cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha$，求证：$z^3 + \frac{1}{z^3} = 2\cos 3\alpha$.

如图，地平面上有一旗杆 $OP$，为了测得它的高度 $h$，在地面上选一基线 $AB$，$AB=20\text{ 米}$，在 $A$ 点处测得 $P$ 点的仰角 $\angle OAP=30^{\circ}$，在 $B$ 点处测得 $P$ 点的仰角 $\angle OBP=45^{\circ}$，又测得 $\angle AOB=60^{\circ}$，求旗杆的高度 $h$（结果可以保留根号）.