如图，$AD$，$AE$，$BC$ 分别与圆 $O$ 切于点 $D$，$E$，$F$，延长 $AF$ 与圆 $O$ 交于另一点 $G$. 给出下列三个结论：

① $AD + AE = AB + BC + CA$； ② $AF \cdot AG = AD \cdot AE$； ③ $\triangle AFB \sim \triangle ADG$.

其中正确结论的序号是（ ）

某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）

已知函数 若关于 $x$ 的方程 $f(x) = k$ 有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是______.

曲线 $C$ 是平面内与两个定点 $F_1(-1, 0)$ 和 $F_2(1, 0)$ 的距离的积等于常数 $a^2$（$a > 1$）的点的轨迹. 给出下列三个结论：

① 曲线 $C$ 过坐标原点； ② 曲线 $C$ 关于坐标原点对称； ③ 若点 $P$ 在曲线 $C$ 上，则 $\triangle F_1PF_2$ 的面积不大于 $\frac{1}{2}a^2$.

其中所有正确结论的序号是______.

已知函数 $f(x) = 4\cos x\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 利用和角公式， $f(x)=4\cos x\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin x+\dfrac12\cos x\right)-1=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$. 因为正弦函数的最小正周期为 $2\pi$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$. \item 令 $u=2x+\dfrac{\pi}{6}$. 当 $x\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$u\in\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3}\right]$，且 $f(x)=2\sin u$. 区间包含 $u=\dfrac\pi2$，故最大值为 $2\sin\dfrac\pi2=2$. 端点处 $2\sin\left(-\dfrac\pi6\right)=-1$，而另一端点值为 $2\sin\dfrac{2\pi}3=\sqrt3$，所以最小值为 $-1$. \end{enumerate} \end{solution}

以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数. 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 $X$ 表示.

(1) 如果 $X = 8$，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2) 如果 $X = 9$，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数 $Y$ 的分布列和数学期望.

（注：方差 $s^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2\right]$，其中 $\bar{x}$ 为 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$ 的平均数）

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $X=8$ 时，乙组数据为 $8$，$8$，$9$，$10$，所以平均数为 $\bar{x}=\dfrac{8+8+9+10}{4}=\dfrac{35}{4}$. 由题给方差定义， $s^2=\dfrac14\left[2\left(8-\dfrac{35}{4}\right)^2+\left(9-\dfrac{35}{4}\right)^2+\left(10-\dfrac{35}{4}\right)^2\right]=\dfrac14\cdot\dfrac{44}{16}=\dfrac{11}{16}$. \item 当 $X=9$ 时，甲组数据为 $9$，$9$，$11$，$11$，乙组数据为 $8$，$9$，$9$，$10$. 两组各随机选取一人，所有 $4\times4=16$ 个结果等可能. 甲组选出两个 $9$ 与乙组选出 $8$ 时，$Y=17$，共有 $2\times1=2$ 个结果；甲组选出两个 $9$ 与乙组选出两个 $9$ 时，$Y=18$，共有 $2\times2=4$ 个结果；甲组选出两个 $9$ 与乙组选出 $10$，或甲组选出两个 $11$ 与乙组选出 $8$ 时，$Y=19$，共有 $2\times1+2\times1=4$ 个结果；甲组选出两个 $11$ 与乙组选出两个 $9$ 时，$Y=20$，共有 $2\times2=4$ 个结果；甲组选出两个 $11$ 与乙组选出 $10$ 时，$Y=21$，共有 $2\times1=2$ 个结果. 因此 $P(Y=17)=\dfrac{2}{16}=\dfrac18$，$P(Y=18)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14$，$P(Y=19)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14$，$P(Y=20)=\dfrac{4}{16}=\dfrac14$，$P(Y=21)=\dfrac{2}{16}=\dfrac18$. 所以 $E(Y)=17\cdot\dfrac18+18\cdot\dfrac14+19\cdot\dfrac14+20\cdot\dfrac14+21\cdot\dfrac18=19$. \end{enumerate} \end{solution}