已知向量 $\boldsymbol{m} = (\sin x, 1)$，$\boldsymbol{n} = (\sqrt{3}A \cos x, \frac{A}{2} \cos 2x)$（$A > 0$），函数 $f(x) = \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}$ 的最大值为 6.

(1) 求 $A$； (2) 将函数 $y = f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{5\pi}{24}\right]$ 上的值域.