古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的$1$，$3$，$6$，$10$，$\cdots$，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的$1$，$4$，$9$，$16$，$\cdots$这样的数称为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

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 0.4
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已知 $\{a_{n}\}$ 是一个公差大于 $0$ 的等差数列，且满足 $a_{3}a_{6} = 55$，$a_{2} + a_{7} = 16$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 若数列 $\{a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 满足等式：$a_{n} = \frac{b_{1}}{2} + \frac{b_{2}}{2^{2}} + \frac{b_{3}}{2^{3}} + \cdots + \frac{b_{n}}{2^{n}}$（$n$ 为正整数）. 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.