已知圆 $C$ 过点 $(1,0)$，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，直线 $l: y = x - 1$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为 $2\sqrt{2}$，则过圆心且与直线 $l$ 垂直的直线的方程为______.