已知函数 $f(x) = \frac{1}{2} \sin 2x \sin \varphi + \cos^2 x \cos \varphi - \frac{1}{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} + \varphi \right)$ （$0 < \varphi < \pi$），其图象过点 $\left( \frac{\pi}{6}, \frac{1}{2} \right)$.

(1) 求 $\varphi$ 的值； (2) 将函数 $y = f(x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y = g(x)$ 的图象. 求函数 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值.