如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 $ABCD$ 为正方形，侧棱与底面边长均为 $2a$，且 $\angle A_{1}AD = \angle A_{1}AB = 60^{\circ}$，则侧棱 $AA_{1}$ 和截面 $B_{1}D_{1}DB$ 的距离是______.

已知四棱锥 $P - ABCD$，底面 $ABCD$ 是菱形，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$PD \perp$ 平面 $ABCD$，$PD = AD$，点 $E$ 为 $AB$ 中点，点 $F$ 为 $PD$ 中点.

(1) 证明：平面 $PED \perp$ 平面 $PAB$； (2) 求二面角 $P - AB - F$ 的平面角的余弦值.