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08三角函数★★★☆☆
计算行列式（要求结果最简）：
∣sin⁡αcos⁡(α+φ)cos⁡αcos⁡βsin⁡(β−φ)sin⁡βsin⁡φcos⁡2φcos⁡φ∣\begin{vmatrix}\sin \alpha & \cos \left(\alpha + \varphi\right) & \cos \alpha \\ \cos \beta & \sin \left(\beta - \varphi\right) & \sin \beta \\ \sin \varphi & \cos 2 \varphi & \cos \varphi\end{vmatrix}
.
\begin{solution} 设行列式为 Δ\Delta. 记三列分别为 C1C_{1}，C2C_{2}，C3C_{3}. 由三角函数加法公式，
cos⁡(α+φ)=cos⁡φcos⁡α−sin⁡φsin⁡α\cos(\alpha+\varphi)=\cos\varphi\cos\alpha-\sin\varphi\sin\alpha
sin⁡(β−φ)=cos⁡φsin⁡β−sin⁡φcos⁡β\sin(\beta-\varphi)=\cos\varphi\sin\beta-\sin\varphi\cos\beta，cos⁡2φ=cos⁡2φ−sin⁡2φ\cos2\varphi=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi. 故 C2=cos⁡φ C3−sin⁡φ C1C_{2}=\cos\varphi\,C_{3}-\sin\varphi\,C_{1}，三列线性相关，从而 Δ=0\Delta=0. \end{solution}

1983 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 解答题

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