过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线相交于 $M$，$N$ 两点，以 $MN$ 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.

\begin{answer} $2$ \end{answer}

\begin{solution} 记双曲线的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$，左焦点为 $(-c,0)$. 直线 $x=-c$ 与双曲线的交点 $M$，$N$ 满足 所以 $y^2=\frac{b^4}{a^2}$，可设 $M=(-c,\frac{b^2}{a})$，$N=(-c,-\frac{b^2}{a})$. 以 $MN$ 为直径的圆的圆心为 $(-c,0)$，半径为 $\frac{b^2}{a}$. 双曲线右顶点为 $(a,0)$，由该点在圆上，得 又因为 $b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)$，所以 $\displaystyle \frac{(c-a)(c+a)}{a}=a+c$. 由于 $a+c>0$，约去 $a+c$ 得 $c-a=a$，即 $c=2a$. 因而双曲线的离心率为 $e=\frac{c}{a}=2$. \end{solution}