设集合 $A = \{(x,y)\mid x$，$y$，$1-x-y$ 是三角形的三边长$\}$，则 $A$ 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 因为 $x$，$y$，$1-x-y$ 是三角形的三边长，所以首先有 $x>0$，$y>0$，$1-x-y>0$，并且三角形的三边还满足 $x+y>1-x-y$，$x+1-x-y>y$，$y+1-x-y>x$. 这些不等式分别化为 $x+y>\frac{1}{2}$，$y<\frac{1}{2}$，$x<\frac{1}{2}$. 再结合 $x>0$，$y>0$ 及 $x+y<1$，所表示的区域为 $0<x<\frac{1}{2}$，$0<y<\frac{1}{2}$，$x+y>\frac{1}{2}$ 的内部. 其边界为 $x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$ 和 $x+y=\frac{1}{2}$，对应选项 A. \end{solution}

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称，且 $f(x) = x^2 + 2x$.

(1) 求函数 $g(x)$ 的解析式； (2) 解不等式 $g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|$； (3) 若 $h(x) = g(x) - \lambda f(x) + 1$ 在 $[-1, 1]$ 上是增函数，求实数 $\lambda$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称，所以点 $(x,g(x))$ 关于原点的对称点 $(-x,-g(x))$ 在函数 $f$ 的图象上，即 $f(-x)=-g(x)$. 因此 $g(x)=-f(-x)=-\left((-x)^2+2(-x)\right)=-x^2+2x$.

\item 由 $g(x)\geqslant f(x)-|x-1|$，得 $-x^2+2x\geqslant x^2+2x-|x-1|$，即 $|x-1|\geqslant2x^2$. 当 $x<1$ 时，$|x-1|=1-x$，所以 $2x^2+x-1\leqslant0$，即 $(2x-1)(x+1)\leqslant0$，解得 $-1\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$.

当 $x\geqslant1$ 时，$|x-1|=x-1$，所以 $2x^2-x+1\leqslant0$. 该二次式的判别式为 $1-8=-7<0$，且二次项系数为正，故无实数解. 因此原不等式的解集为 $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$.

\item $h(x)=g(x)-\lambda f(x)+1=-(1+\lambda)x^2+2(1-\lambda)x+1$，所以 $h'(x)=-2(1+\lambda)x+2(1-\lambda)$. 这是关于 $x$ 的一次函数，且 $h'(-1)=4$，$h'(1)=-4\lambda$. 要使 $h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为增函数，需且只需 $h'(x)\geqslant0$ 对区间内所有 $x$ 成立. 由于 $h'$ 为一次函数，这等价于两个端点处均非负，故 $-4\lambda\geqslant0$. 因此实数 $\lambda$ 的取值范围为 $\lambda\leqslant0$. \end{enumerate} \end{solution}