袋子 $A$ 和 $B$ 中装有若干个均匀的红球和白球，从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$，从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$.

(1) 从 $A$ 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸 5 次.

(i) 恰好有 3 次摸到红球的概率； (ii) 第一次，第三次，第五次摸到红球的概率； (2) 若 $A$，$B$ 两个袋子中的球数之比为 $1:2$，将 $A$，$B$ 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$，求 $p$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 从袋子 $A$ 中有放回地摸球，所以每次摸到红球的概率均为 $\frac{1}{3}$，各次摸球相互独立. \begin{enumerate} \item 恰好有 $3$ 次摸到红球的情况数为 $\mathrm C_5^3$，所以所求概率为

\item 第一次、第三次、第五次摸到红球，而第二次、第四次摸到何种球均不受限制，所以所求概率为 $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27}$. \end{enumerate}

\item 设袋子 $A$ 中有 $n$ 个球，则袋子 $B$ 中有 $2n$ 个球. 袋子 $A$ 中红球数为 $\frac{n}{3}$，袋子 $B$ 中红球数为 $2np$. 装在一起后，红球概率为 $\frac{\frac{n}{3}+2np}{3n}=\frac{2}{5}$. 约去 $n$，得 $\frac{1}{9}+\frac{2p}{3}=\frac{2}{5}$，所以 $\frac{2p}{3}=\frac{13}{45}$，从而 $p=\frac{13}{30}$. \end{enumerate} \end{solution}