如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = AA_{1} = 1$. 延长 $A_{1}C_{1}$ 至点 $P$，使 $C_{1}P = A_{1}C_{1}$，连接 $AP$ 交棱 $CC_{1}$ 于点 $D$.

(1) 求证：$PB_{1} \parallel$ 平面 $BDA_{1}$； (2) 求二面角 $A - A_{1}D - B$ 的平面角的余弦值.