已知四棱锥的底面是边长为 $\sqrt2$ 的正方形，侧棱长均为 $\sqrt5$. 若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______.

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形，$\triangle PCD$ 为等边三角形，平面 $PAC\perp$ 平面 $PCD$，$PA\perp CD$，$CD=2$，$AD=3$.

(1) 设 $G$，$H$ 分别为 $PB$，$AC$ 的中点，求证：$GH//$ 平面 $PAD$； (2) 求证：$PA\perp$ 平面 $PCD$； (3) 求直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成角的正弦值.