设 $P$ 为直线 $y=\frac{b}{3a}x$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （$a>0$，$b>0$）左支的交点，$F_1$ 是左焦点，$PF_1$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率 $e=\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 设双曲线的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2+b^2$，左焦点为 $F_1=(-c,0)$. 因为 $PF_1\perp x$ 轴，点 $P$ 与 $F_1$ 的横坐标相同，所以 $x_P=-c$. 由直线方程，$y_P=-\frac{bc}{3a}$. 将 $P$ 代入双曲线方程，得 $\frac{c^2}{a^2}-\frac{c^2}{9a^2}=1$，即 $\frac89\frac{c^2}{a^2}=1$. 因此离心率 $e=\frac ca=\sqrt{\frac98}=\frac{3\sqrt2}{4}$. \end{solution}