已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$，点 $B$ 在椭圆上，且 $BF \perp x$ 轴. 直线 $AB$ 交 $y$ 轴于点 $P$. 若 $\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB}$，则椭圆的离心率是（ ）