已知直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的 $6$ 个顶点都在球 $O$ 的球面上. 若 $AB = 3$，$AC = 4$，$AB \perp AC$，$AA_{1} = 12$，则球 $O$ 的半径为（ ）

(1) 如图，$AB$ 是圆的直径，$PA$ 垂直圆所在的平面，$C$ 是圆上的点. 求证：$BC \perp$ 平面 $PAC$； (2) 设 $Q$ 为 $PA$ 的中点，$G$ 为 $\triangle AOC$ 的重心，求证：$QG\parallel$ 平面 $PBC$.