在数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{n} = 4n - \frac{5}{2}$，$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = an^{2} + bn$，$n \in \mathbf{N}^*$，其中 $a$，$b$ 为常数，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n} - b^{n}}{a^{n} + b^{n}}$ 的值是______.