如图，在边长为 $l$ 的等边 $\triangle ABC$ 中，圆 $O_{1}$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{1}$ 外切，且与 $AB$，$BC$ 相切，$\cdots$，圆 $O_{n+1}$ 与圆 $O_{n}$ 外切，且与 $AB$，$BC$ 相切，如此无限继续下去. 记圆 $O_{n}$ 的面积为 $a_{n}$（$n\in\mathbf{N}$）.

(1) 证明 $\{a_{n}\}$ 是等比数列； (2) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})$ 的值.