在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 1$，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足条件 $\frac{S_{2n}}{S_{n}} = \frac{4n + 2}{n + 1}$，$n = 1$，$2$，$\cdots$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式. (2) 记 $b_n = a_n p^{2n}$（$p > 0$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.