$\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $b=c$，$a^2=2b^2\left(1-\sin A\right)$，则 $A=$（ ）

观察下列等式：

$\left(\sin\dfrac{\pi}{3}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)^{-2}=\dfrac43\times1\times2$；

$\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{4\pi}{5}\right)^{-2}=\dfrac43\times2\times3$；

$\left(\sin\dfrac{\pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{7}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{6\pi}{7}\right)^{-2}=\dfrac43\times3\times4$；

$\left(\sin\dfrac{\pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{9}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{8\pi}{9}\right)^{-2}=\dfrac43\times4\times5$.

照此规律， $\left(\sin\dfrac{\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{2\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\left(\sin\dfrac{3\pi}{2n+1}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin\dfrac{2n\pi}{2n+1}\right)^{-2}=$______.

设 $f(x)=2\sqrt3\sin\left(\pi-x\right)\sin x-\left(\sin x-\cos x\right)^2$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间； (2) 把 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的值.