已知 $\alpha$，$\beta$ 均为锐角，若 $p: \sin \alpha < \sin (\alpha + \beta)$，$q: \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$，则 $p$ 是 $q$ 的（ ）

对于不重合的两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$，给定下列条件：

① 存在平面 $\gamma$，使得 $\alpha$，$\beta$ 都垂直于 $\gamma$； ② 存在平面 $\gamma$，使得 $\alpha$，$\beta$ 都平行于 $\gamma$； ③ 存在直线 $l \subset \alpha$，直线 $m \subset \beta$，使得 $l \parallel m$； ④ 存在异面直线 $l$，$m$，使得 $l \parallel \alpha$，$l \parallel \beta$，$m \parallel \alpha$，$m \parallel \beta$.

其中，可以判定 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行的条件有（ ）

若动点 $(x, y)$ 在曲线 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$b > 0$）上变化，则 $x^2 + 2y$ 的最大值为（ ）

有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示. 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为 $2$，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过 $39$，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）

若函数 $f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{2\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} + \sin x + a^2 \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 3$，试确定常数 $a$ 的值.

\begin{solution} $1+\cos2x=2\cos^2x$，且定义域要求 $\cos x\ne0$，所以 $\frac{1+\cos2x}{2\sin\left(\frac\pi2-x\right)}=\frac{2\cos^2x}{2\cos x}=\cos x$. 因此 $f(x)=\cos x+\sin x+a^2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=(\sqrt{2}+a^2)\sin\left(x+\frac\pi4\right)$. 由于 $\sqrt{2}+a^2>0$，且取 $x=\frac\pi4+2k\pi$ 时原式有定义并使正弦值为 $1$，故函数最大值为 $\sqrt{2}+a^2$. 由题设 $\sqrt{2}+a^2=\sqrt{2}+3$，得 $a^2=3$，所以 $a=\pm\sqrt{3}$. \end{solution}

设函数 $f(x) = 2x^{3} - 3(a + 1)x^{2} + 6ax + 8$，其中 $a \in \mathbf{R}$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $x = 3$ 处取得极值，求常数 $a$ 的值； (2) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数可导，若在 $x=3$ 处取得极值，则必须有 $f'(3)=0$. 而 $f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)$，所以 $0=f'(3)=12(3-a)$，得 $a=3$. 当 $a=3$ 时，$f'(x)=6(x-1)(x-3)$，在 $x=3$ 左侧为负、右侧为正，确实在 $x=3$ 处取得极小值. \item 由 $f'(x)=6(x-1)(x-a)$，当 $x<0$ 时有 $x-1<0$. 要使 $f$ 在 $(-\infty,0)$ 上为增函数，需对一切 $x<0$ 有 $f'(x)>0$，这等价于 $x-a<0$ 对一切 $x<0$ 成立，也就是 $a\geqslant0$. 当 $a\geqslant0$ 时确有 $x-a<0$，故 $f'(x)>0$；若 $a<0$，取 $x\in(a,0)$，则 $f'(x)<0$. 故 $a\in[0,+\infty)$. \end{enumerate} \end{solution}

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$PD \perp$ 底面 $ABCD$，$E$ 是 $AB$ 上一点，$PE \perp EC$. 已知 $PD = \sqrt{2}$，$CD = 2$，$AE = \frac{1}{2}$，求：

(1) 异面直线 $PD$ 与 $EC$ 的距离； (2) 二面角 $E - PC - D$ 的大小.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，令 $A=(0,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$D=(0,h,0)$，$C=(2,h,0)$，$P=(0,h,\sqrt2)$，$E=\left(\frac12,0,0\right)$. 由 $PE\perp EC$ 得 $\overrightarrow{EP}=\left(-\frac12,h,\sqrt2\right)$，$\overrightarrow{EC}=\left(\frac32,h,0\right)$，从而 $\overrightarrow{EP}\cdot\overrightarrow{EC}=h^2-\frac34=0$，所以 $h=\frac{\sqrt3}{2}$. 又 $\overrightarrow{ED}=\left(-\frac12,h,0\right)$，故 $\overrightarrow{ED}\cdot\overrightarrow{EC}=h^2-\frac34=0$，即 $ED\perp EC$. 显然 $ED\perp PD$，所以 $ED$ 是异面直线 $PD$ 与 $EC$ 的公垂线，且 $ED=\sqrt{\frac14+h^2}=1$. \item 取平面 $EPC$ 和平面 $DPC$ 的法向量. 令 $\overrightarrow{PC}=(2,0,-\sqrt2)$，$\overrightarrow{PE}=\left(\frac12,-h,-\sqrt2\right)$，$\overrightarrow{PD}=(0,0,-\sqrt2)$，则可取 $\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PE}=\left(-\sqrt2h,\frac{3\sqrt2}{2},-2h\right)$，$\boldsymbol{n}_2=\overrightarrow{PC}\times\overrightarrow{PD}=(0,2\sqrt2,0)$. 代入 $h=\frac{\sqrt3}{2}$，有 $|\boldsymbol{n}_1|=3$，$|\boldsymbol{n}_2|=2\sqrt2$，且 $|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|=6$. 因此二面角的平面角 $\theta$ 满足 $\cos\theta=\frac{6}{3\times2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$，从而 $\theta=\frac\pi4$. \end{enumerate} \end{solution}