设函数 $f(x) = 2x^{3} - 3(a + 1)x^{2} + 6ax + 8$，其中 $a \in \mathbf{R}$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $x = 3$ 处取得极值，求常数 $a$ 的值； (2) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数可导，若在 $x=3$ 处取得极值，则必须有 $f'(3)=0$. 而 $f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)$，所以 $0=f'(3)=12(3-a)$，得 $a=3$. 当 $a=3$ 时，$f'(x)=6(x-1)(x-3)$，在 $x=3$ 左侧为负、右侧为正，确实在 $x=3$ 处取得极小值. \item 由 $f'(x)=6(x-1)(x-a)$，当 $x<0$ 时有 $x-1<0$. 要使 $f$ 在 $(-\infty,0)$ 上为增函数，需对一切 $x<0$ 有 $f'(x)>0$，这等价于 $x-a<0$ 对一切 $x<0$ 成立，也就是 $a\geqslant0$. 当 $a\geqslant0$ 时确有 $x-a<0$，故 $f'(x)>0$；若 $a<0$，取 $x\in(a,0)$，则 $f'(x)<0$. 故 $a\in[0,+\infty)$. \end{enumerate} \end{solution}