已知 $\alpha$，$\beta$ 均为锐角，若 $p: \sin \alpha < \sin (\alpha + \beta)$，$q: \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$，则 $p$ 是 $q$ 的（ ）

若函数 $f(x) = \frac{1 + \cos 2x}{2\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)} + \sin x + a^2 \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 3$，试确定常数 $a$ 的值.

\begin{solution} $1+\cos2x=2\cos^2x$，且定义域要求 $\cos x\ne0$，所以 $\frac{1+\cos2x}{2\sin\left(\frac\pi2-x\right)}=\frac{2\cos^2x}{2\cos x}=\cos x$. 因此 $f(x)=\cos x+\sin x+a^2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=(\sqrt{2}+a^2)\sin\left(x+\frac\pi4\right)$. 由于 $\sqrt{2}+a^2>0$，且取 $x=\frac\pi4+2k\pi$ 时原式有定义并使正弦值为 $1$，故函数最大值为 $\sqrt{2}+a^2$. 由题设 $\sqrt{2}+a^2=\sqrt{2}+3$，得 $a^2=3$，所以 $a=\pm\sqrt{3}$. \end{solution}