如果圆锥曲线的极坐标方程为 $\rho=\frac{16}{5-3\cos\theta}$，那么它的焦点的极坐标为（$\quad$）

\begin{solution} 令 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $\rho\cos\theta=x$. 原极坐标方程化为 $5\rho=16+3x$. 由于 $5-3\cos\theta>0$，两边平方不引入额外点，得 $25(x^2+y^2)=(16+3x)^2$，即 $16(x-3)^2+25y^2=400$，或 $\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. 该椭圆的中心为 $(3,0)$，半长轴为 $5$，半短轴为 $4$，焦距的一半为 $\sqrt{5^2-4^2}=3$. 所以两个焦点为 $(0,0)$、$(6,0)$，选 D. \end{solution}

圆 $x^{2} + 2x + y^{2} + 4y - 3 = 0$ 上到直线 $x + y + 1 = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有（$\quad$）

\begin{solution} 圆的方程化为 $\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=8$，圆心为 $(-1,-2)$，半径为 $2\sqrt2$. 设所求点到直线的距离为 $\sqrt2$，则 $\lvert x+y+1\rvert=2$，所以这些点在两条直线 $x+y=1$ 或 $x+y=-3$ 上. 直线 $x+y=1$ 到圆心的距离为 $2\sqrt{2}$，与圆相切，有 $1$ 个交点；直线 $x+y=-3$ 经过圆心，与圆有 $2$ 个交点. 共有 $3$ 个点，选 C. \end{solution}