$\left(ax+1\right)^7$ 的展开式中，$x^3$ 的系数是 $x^2$ 的系数与 $x^4$ 的系数的等差中项，若实数 $a>1$，那么 $a=$______.

\begin{solution} 在 $(ax+1)^7$ 的展开式中，$x^k$ 的系数为 $\mathrm C_7^k a^k$. 因而 $x^2$，$x^3$，$x^4$ 的系数分别为 $21a^2$、$35a^3$、$35a^4$. 由等差中项关系，$2\times35a^3=21a^2+35a^4$. 因为 $a>1$，可除以 $7a^2$，得到 $5a^2-10a+3=0$，所以 $a=1\pm\frac{\sqrt{10}}{5}$. 结合 $a>1$，得 $a=1+\frac{\sqrt{10}}{5}$. \end{solution}