如果三棱锥 $S-ABC$ 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 $S$ 在底面的射影 $O$ 在 $\triangle ABC$ 内，那么 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的（$\quad$）

\begin{solution} 设 $H$ 是点 $O$ 到底面边 $BC$ 的垂足. 过 $SO$ 作垂直于 $BC$ 的截面，则该截面与底面、侧面 $SBC$ 的交线分别为 $OH$、$SH$，所以对应的二面角满足 $\tan\theta=\frac{SO}{OH}$. 三个侧面与底面所成的二面角相等，且 $SO>0$，故点 $O$ 到三条边的距离相等. 又因 $O$ 在三角形内部，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，选 D. \end{solution}

已知正三棱台上底面边长为 $2$，下底面边长为 $4$，且侧棱与底面所成的角是 $45^\circ$，那么这个正三棱台的体积等于______.

\begin{solution} 设该正三棱台的高为 $h$. 正三棱台上下底面的中心在同一条高线上，对应顶点连线在底面上的投影长等于两底面外接圆半径之差. 正三角形边长分别为 $2$、$4$ 时，外接圆半径分别为 $\frac{2}{\sqrt3}$、$\frac{4}{\sqrt3}$，故投影长为 $\frac{2}{\sqrt3}$. 在由侧棱、其投影和高组成的直角三角形中，$\tan45^\circ=\frac{h}{\frac{2}{\sqrt3}}=1$，所以 $h=\frac{2}{\sqrt3}$. 上、下底面积分别为 $\sqrt3$、$4\sqrt3$，故正棱台体积为 \end{solution}

在球面上有四个点 $P$，$A$，$B$，$C$，如果 $PA$，$PB$，$PC$ 两两互相垂直，且 $PA=PB=PC=a$，那么这个球面的面积是______.

\begin{solution} 以 $P$ 为原点，分别以 $PA$、$PB$、$PC$ 所在方向为三个坐标轴正方向，则可设 $P=(0,0,0)$、$A=(a,0,0)$、$B=(0,a,0)$、$C=(0,0,a)$. 设球心为 $O=(u,v,w)$. 由 $OP=OA$ 得 $u^2+v^2+w^2=(u-a)^2+v^2+w^2$，所以 $u=\frac a2$. 由 $OP=OB$ 得 $u^2+v^2+w^2=u^2+(v-a)^2+w^2$，所以 $v=\frac a2$. 由 $OP=OC$ 得 $u^2+v^2+w^2=u^2+v^2+(w-a)^2$，所以 $w=\frac a2$. 因而球半径满足 $R^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}$，球面面积为 $4\pi R^2=3\pi a^2$. \end{solution}

已知 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形，$E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 的中点，$GC$ 垂直于 $ABCD$ 所在的平面，且 $GC=2$，求点 $B$ 到平面 $EFG$ 的距离.

\begin{solution} 建立直角坐标系，使正方形所在平面为 $z=0$，取 $A=(0,0,0)$、$B=(4,0,0)$、$C=(4,4,0)$、$D=(0,4,0)$. 由题意可取 $E=(2,0,0)$、$F=(0,2,0)$、$G=(4,4,2)$. 于是 $\overrightarrow{EF}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{EG}=(2,4,2)$，平面 $EFG$ 的一个法向量为 $(1,1,-3)$，其方程为 $x+y-3z-2=0$. 因此点 $B=(4,0,0)$ 到该平面的距离为 \end{solution}