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21
三角函数
★★★☆☆
求函数
y
=
sin
2
x
+
2
sin
x
cos
x
+
3
cos
2
x
y=\sin^2 x+2\sin x\cos x+3\cos^2 x
y
=
sin
2
x
+
2
sin
x
cos
x
+
3
cos
2
x
的最小值，并写出使函数
y
y
y
取最小值的
x
x
x
的集合.
\begin{solution} 由
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
2
\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}
sin
2
x
=
2
1
−
c
o
s
2
x
、
cos
2
x
=
1
+
cos
2
x
2
\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}
cos
2
x
=
2
1
+
c
o
s
2
x
及
2
sin
x
cos
x
=
sin
2
x
2\sin x\cos x=\sin2x
2
sin
x
cos
x
=
sin
2
x
，得
y
=
2
+
cos
2
x
+
sin
2
x
=
2
+
2
sin
(
2
x
+
π
4
)
≥
2
−
2
y=2+\cos2x+\sin2x=2+\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\geq 2-\sqrt2
y
=
2
+
cos
2
x
+
sin
2
x
=
2
+
2
sin
(
2
x
+
4
π
)
≥
2
−
2
当且仅当
sin
(
2
x
+
π
4
)
=
−
1
\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1
sin
(
2
x
+
4
π
)
=
−
1
时取等号，即
2
x
+
π
4
=
−
π
2
+
2
k
π
2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi
2
x
+
4
π
=
−
2
π
+
2
k
π
，所以
x
=
k
π
−
3
π
8
x=k\pi-\frac{3\pi}{8}
x
=
k
π
−
8
3
π
，其中
k
∈
Z
k\in\mathbf{Z}
k
∈
Z
. 因此最小值为
2
−
2
2-\sqrt2
2
−
2
，使函数取最小值的
x
x
x
的集合为
{
x
∣
x
=
k
π
−
3
π
8
,
k
∈
Z
}
\left\{x\mid x=k\pi-\frac{3\pi}{8},\ k\in\mathbf{Z}\right\}
{
x
∣
x
=
k
π
−
8
3
π
,
k
∈
Z
}
. \end{solution}
1991 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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