已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的一条渐近线方程是 $y = \sqrt{3} x$，它的一个焦点在抛物线 $y^2 = 24x$ 的准线上，则双曲线的方程为（ ）

\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 双曲线的渐近线为 $y=\pm\dfrac ba x$，故 $\frac ba=\sqrt3$，$b^2=3a^2$. 抛物线 $y^2=24x=4\cdot6x$ 的准线为 $x=-6$，所以双曲线焦点到原点的距离满足 $c=6$. 又 从而 $a^2=9$，$b^2=27$. 因此双曲线方程为 选 B. \end{solution}

如图，四边形 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形，延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$，若 $\frac{PB}{PA} = \frac{1}{2}$，$\frac{PC}{PD} = \frac{1}{3}$，则 $\frac{BC}{AD}$ 的值为______.

\begin{answer} $\frac{\sqrt{6}}{6}$ \end{answer} \begin{solution} 由圆内接四边形的割线定理， 设 $PA=1$，则 $PB=\dfrac12$，且由 $PC=\dfrac{PD}{3}$ 得 $\frac12=\frac{PD^2}{3}$，$PD=\sqrt{\frac32}$，$PC=\frac1{\sqrt6}$. 设 $\angle BPC=\angle APD=\theta$. 由余弦定理， 故 \end{solution}