在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$，若 $a^2 - b^2 = \sqrt{3}bc$，$\sin C = 2\sqrt{3}\sin B$，则 $A =$（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 由正弦定理， $\frac cb=\frac{\sin C}{\sin B}=2\sqrt3$，$c=2\sqrt3b$. 代入已知条件得 $a^2-b^2=\sqrt3bc=6b^2$，$a^2=7b^2$. 再由余弦定理， 所以 $7=13-4\sqrt3\cos A$，即 $\cos A=\dfrac{\sqrt3}{2}$. 因为 $0<A<\pi$，故 $A=30^\circ$，选 A. \end{solution}

如图，四边形 $ABCD$ 是圆 $O$ 的内接四边形，延长 $AB$ 和 $DC$ 相交于点 $P$，若 $\frac{PB}{PA} = \frac{1}{2}$，$\frac{PC}{PD} = \frac{1}{3}$，则 $\frac{BC}{AD}$ 的值为______.

\begin{answer} $\frac{\sqrt{6}}{6}$ \end{answer} \begin{solution} 由圆内接四边形的割线定理， 设 $PA=1$，则 $PB=\dfrac12$，且由 $PC=\dfrac{PD}{3}$ 得 $\frac12=\frac{PD^2}{3}$，$PD=\sqrt{\frac32}$，$PC=\frac1{\sqrt6}$. 设 $\angle BPC=\angle APD=\theta$. 由余弦定理， 故 \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 2\cos^2 x - 1$（$x \in \mathbf{R}$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值； (2) 若 $f(x_{0})=\frac{6}{5}$，$x_{0}\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$，求 $\cos 2x_{0}$ 的值.